10 трудни математически проблема, които остават нерешени

Хипотеза на Колац

Други имена: хипотеза 3n + 1, проблемът на Сиракуза, градиентни числа. Ако вземете всяко естествено число n и извършите следните трансформации с него, рано или късно винаги получавате такова. Дори n трябва да се раздели на две, а нечетно - да се умножи по 3 и да се добави едно. За номер 3 последователността ще бъде следната: 3x3 + 1 = 10, 10: 2 = 5, 5x3 + 1 = 16, 16: 2 = 8, 8: 2 = 4, 4: 2 = 2, 2: 2 = 1. Очевидно, ако продължите преобразуването от един, тогава започва цикълът 1, 4, 2. Доста бързо броят на стъпките в изчисленията започва да надвишава сто и повече и повече ресурси са необходими за решаване на всяка нова последователност.

Малък напредък в решаването на този проблем преди почти век бе очертан буквално миналия месец. Известният американски математик Терънс Тао се приближи само до него, но все още не можа да намери отговор. Хипотезата на Колац е в основата на такава математическа дисциплина като "Динамични системи", която от своя страна е важна за много други приложни науки, например химия и биология. Проблемът със Сиракуза изглежда като прост безобиден въпрос, но това го прави специален. Защо е толкова трудно да се реши?

Проблем с Goldbach (двоичен)

Друг проблем, чийто текст изглежда по-прост от задушена ряпа - всяко четно число (повече от 2) може да бъде представено като сбор от две прости. И това е крайъгълният камък на съвременната математика. Това твърдение лесно се проверява в ума за малки стойности: 18 = 13 + 5, 42 = 23 + 19. Освен това, имайки предвид последното, можете бързо да разберете цялата дълбочина на проблема, защото 42 се представя като 37 + 5 и 11 + 31, а също и като 13 + 29 и 19 + 23. За числа, по-големи от хиляда, броят на двойките термини става просто огромен. Това е много важно в криптографията, но дори и най-мощните суперкомпютри не могат да преминат през всички стойности за неопределено време, така че е необходимо известно ясно доказателство за всички естествени числа.

Проблемът е формулиран от Кристиан Голдбах в кореспонденцията му с друг велик математик Леонард Ойлер през 1742 година. Самият Кристиан постави въпроса малко по-просто: "всяко нечетно число, повече от 5, може да бъде представено като сбор от три прости числа". През 2013 г. перуанският математик Харалд Хелфготт намери окончателното решение на този вариант. Предложеното от Ойлер последствие от това твърдение, което беше наречено „бинарният проблем на Goldbach“, все още не се поддава на никого.

Хипотеза за двойно число

Близнаците се наричат ​​такива прости числа, които се различават само с 2. Например 11 и 13, както и 5 и 3 или 599 и 601. Ако безкрайността на поредица прайми е доказана многократно от древността, тогава безкрайността на числата близнаци е под въпрос. Като се започне от 2, няма четни числа сред прайдовете, а от 3 - делимо на три. Съответно, ако извадим от серията всичко, което отговаря на „правилата за разделяне“, тогава броят на възможните близнаци става все по-малък. Единственият модул за формулата за намиране на такива числа е 6, а формулата е следната: 6n ± 1.

Както винаги в математиката, ако проблемът не може да бъде решен "главата на главата", те подхождат към него от другия край. Например през 2013 г. беше доказано, че броят на прайсите, различаващ се със 70 милиона, е безкраен. Тогава, с разлика по-малка от месец, стойността на разликата е подобрена до 59 470 640, а след това дори и порядък с магнитуд до 4 982 086 В момента има теоретични обосновки за безкрайността на двойки прайми с разлика 12 и 6, но доказана единствената разлика е 246. Подобно на други проблеми от този вид, хипотезата за двойни числа е особено важна за криптографията.

Хипотеза на Риман

Накратко, Бернхард Риман предположи, че разпределението на прайсове върху множеството на всички естествени числа не се подчинява на никакви закони. Но техният брой в даден раздел от числовите серии корелира с разпределението на определени стойности върху графиката на zeta функцията. Той се намира отгоре и за всеки s дава безкраен брой термини. Например, когато 2 е заместено за s, резултатът е вече решеният „Базелов проблем“ - поредица от обратни квадратчета (1 + ¼ + 1/9 + 1/16 + ...).

Един от „проблемите на хилядолетието“, за решаването на който е назначена награда от един милион долара, както и влизането в пантеона на „боговете“ на съвременната математика. Всъщност доказателството за тази хипотеза ще тласне теорията за числата толкова силно, че това събитие с право ще бъде наречено историческо. Много изчисления и твърдения в математиката се основават на предположението, че „хипотезата на Риман“ е вярна и досега никой не е бил подведен. Германският математик формулира известния проблем преди 160 години и оттогава към него са подхождани безброй пъти, но напредъкът е много скромен.

Хипотеза на Бреза и Суинертън-Дайер

Поредното „Предизвикателство на хилядолетието“, за което Институтът за глина ще даде милион долара. Нематематиката е достатъчно трудна за формулиране и разбиране, поне в общи линии, каква е същността на хипотезата. Birch и Swinnerton-Dyer предложиха някои свойства на елиптичните криви. Идеята беше, че рангът на кривата може да бъде определен чрез познаване на нулевия ред на Zeta функцията. Както се казва, нищо не е ясно, но много интересно.

Елиптичните криви са онези линии на графиката, които са описани на пръв поглед от безобидни уравнения на формата y² = x³ + ax + b. Някои от техните свойства са изключително важни за теорията на алгебрата и числата и решаването на този проблем може сериозно да прогресира науката. Най-големият напредък е постигнат през 1977 г. от екип математици от Англия и САЩ, които успяват да намерят доказателства за хипотезите на Бреза и Суинертън-Дайер за един от специалните случаи.

Проблемът с плътното опаковане на равни сфери

Това дори не е един, а цяла категория подобни проблеми. Освен това се срещаме с тях ежедневно, например, когато искаме да поставим плодове на рафт в хладилник или да подредим бутилки на рафт възможно най-плътно. От математическа гледна точка е необходимо да се намери средният брой контакти („целувки“, наричани още номера за контакт) на всяка сфера с останалите. В момента има точни решения за размери 1-4 и 8.

Размер или измерване се отнася до броя на линиите, по които са поставени топките. В реалния живот тя не се среща повече от третото измерение, но математиката оперира и с хипотетични стойности. Решаването на този проблем може сериозно да напредне не само в теорията на числата и геометрията напред, но и да помогне в химията, компютърните науки и физиката.

Проблемът с отвързването

И отново всеки ден има проблем. Изглежда, че е трудно да развържеш възела? Изчисляването на минималното време, необходимо за тази задача, е друг основен камък на математиката. Трудността е, че знаем, че е възможно да се изчисли алгоритъмът за разделяне, но сложността му може да бъде такава, че дори и най-мощният суперкомпютър ще отнеме твърде много време.

Първите стъпки към решаването на този проблем бяха направени през 2011 г. от американския математик Грег Купърбърг. В работата му отпускането на възел от 139 върха е намалено от 108 часа на 10 минути. Резултатът е впечатляващ, но това е само специален случай. В момента има няколко десетки алгоритми с различна степен на ефективност, но нито един от тях не е универсален. Сред приложенията в тази област на математиката са биологията, по-специално процесите на сгъване на протеини.

Най-големият кардинал

Каква безкрайност е най-голямата? На пръв поглед заблуден въпрос, но е така - всички безкрайности са различни по размер. По-точно по отношение на силата, защото точно така се отличават множествата от числа в математиката. Под мощност се разбира общият брой елементи в комплекта. Например, най-малката безкрайност са естествените числа (1, 2, 3, ...), защото включва само положителни числа. Все още няма отговор на този въпрос и математиците постоянно намират все по-мощни набори.

Силата на един комплект се характеризира с неговия кардинален номер или просто кардинал. Има цяла онлайн енциклопедия за безкрайности и забележителни „крайници“, наречени на Джордж Кантор. Този немски математик беше първият, който откри, че безброй множества могат да бъдат по-големи или по-малки един от друг. Освен това той успя да докаже разликата в силата на различни безкрайности.

Какво не е наред с сумата от π и e?

Дали сборът от тези две ирационални числа е алгебрично число? Работим с тези константи от стотици години, но не сме научили всичко за тях. Алгебраичното число е коренът на полином с цели числа. На пръв поглед изглежда, че всички реални числа са алгебрични, но не, обратно. Повечето числа са трансцендентални, тоест не са алгебрични. Освен това всички реални трансцендентални числа са нерационални (например π и e), но тяхната сума може да бъде всяка.

Ако читателят не получи главоболие от предишния параграф, тогава това е продължението на загадката - какво ще кажете за πe, π / e и π-e? Не е известно и знанието за това вероятно е доста важно за теорията на числата. Трансцендентността на число е доказана в края на 19 век от Фердинанд фон Линдеман, заедно с невъзможността да се реши проблемът с квадратурата на кръг. Оттогава не е постигнат значителен напредък в решаването на проблема.

Γ рационална ли е?

Ето още един проблем, който е много лесен за писане, но е труден за решаване. Константата на Ойлер-Маскерони е ирационална или не? Рационалните числа могат да бъдат записани като p / q, където p и q са цели числа. По този начин, 42 и -11/3 са рационални, а √2 не е. Формулата по-горе ви позволява да изчислите константа, която е границата на разликата между частичната сума на хармоничните серии и естествения логаритъм на числото. За определяне на неговата рационалност, милион долара, разбира се, не блести, но е напълно възможно да се разчита на професорския стол в Оксфорд.

Стойността на γ беше изчислена до няколко хиляди десетични знака, първите четири от които са 0, 5772. Той се използва широко в математиката, включително заедно с друго число на Ойлер - e. Според теорията за продължителните дроби, ако константата на Ойлер-Маскерони е рационална фракция, тогава нейният знаменател трябва да бъде по-голям от 10 на 242, 080 градуса.

Харесва ли ви статията?

Най-интересните новини от света на науката: свежи открития, снимки и невероятни факти във вашата поща. добре Съгласен съм с правилата на сайта Благодаря. Изпратихме потвърждение на вашия имейл.

Препоръчано

Военните възстановиха танк NI-1 "На страх"
2019
LEGO Group представя 5 нови комплекта, предназначени за годишнината на LEGO Star Wars
2019
Петел в Австралия убил любовница, като си кълвел вените
2019